Selasa, 29 November 2011

BARISAN DAN DERET

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^{^n-1}
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^{^n-1} ® fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^ⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-r^ⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_{_¥} = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M_ⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
= (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Pola Bilangan dan Barisan Bilangan

Bilangan Ganjil
Gambar pola : . .: .:: .:::
Pola : 1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2+2, …
Barisan : 1, 3, 5, 7, …
* Suku satu diawali dengan U1
* Suku dua diawali dengan U2
* b adalah beda
b = U2 – U1
Rumusnya : b = Un – Un-1

Bilangan Ganjil
Gambar pola : . .:    .:: .:::
Pola    : 1, 1+2, 1+2+2,    1+2+2+2, …
Barisan : 1,    3,          5,                  7, …
* Suku satu diawali dengan U1
* Suku dua diawali dengan U2
* b adalah beda
b = U2 – U1
Rumusnya : b = Un – Un-1

Un = 2n – 1
Jumlah n suku bilangan ganjil adalah n2
Bilangan Genap
Gambar pola :    :         ::               :::              :::
Pola              :    2,    2+2,    2+2+2,    2+2+2+2, …
Barisan         :    2,       4,            6,              8, …

Rumusnya : Un = 2n
Jumlah n suku bilangan genap adalah n(n + 1)
Bilangan Asli
Barisan bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, …
Jumlah n suku bilangan Asli adalah ½ n(n + 1)
Bilangan Segitiga
Pola : 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, …
Barisan bilangan : 1, 3, 6, 10, …
Rumusnya : Un = ½ n(n + 1)
Bilangan Persegi
Pola : 12, 22, 32, 42, …
Barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, …
Bilangan Persegi Panjang
Pola :                  1X2,   2X3,    3X4, …
Barisan bilangan : 2,     6,        12, …

v Rumus Un untuk barisan bilangan dengan beda tetap adalah :
Un = U1 + (n - 1)b
Contoh soal :
1. 93,87,81,75,….
Tentukan rumus Un!
Jawab :
b = U2 – U1
b = 93 – 87
b = -6

Un = U1 + (n – 1)b
Un = 93 + (n – 1)-6
Un = 93 – 6n + 6
Un = -6n + 99
Jadi , rumus Un adalah -6n + 99
v Rumus Un untuk barisan bilangan dengan beda 2 tingkat adalah :
Un = an2 –bn +c

Notasi Sigma
Notasi sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat. Notasi sigma, ditulis dengan

Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut :

Dimana:

i adalah indeks penjumlahan

n adalah batas bawah penjumlahan

n adalah batas atas penjumlahan

Sifat-sifat notasi sigma:

koordinat kartesius dan koordinat kutub

dalam matematika ada beberapa macam koordinat, antara lain koordinat kartesius, koordinat kutub, koordinat bola, koordinat tabung. tetapi yang sering digunakan adalah koordinat kartesius dan koordinat kutub. berikut akan dijelaskan tentang koordinat kartesius dan koordinat kutub.

Pengertian koordinat kartesius dan koordinat kutub

1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y.

2. Koordinat kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk r dan α

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat kartesius.

1. jika diketahui koordinat kutub titik P adalah (r,α ) maka koordinat cartesius P ( x,y) dapat ditentukan dengan hubungan :

X = r cos α

Y = r sin α

2. jika diketahui koordinat cartesius P (x,y) maka koordinat kutub P (r,α ) dapat ditentukan dengan hubungan :

r² = x² + y²

Tan α = y/x , α = arc tan y/x

untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

1. Koordinat kutub titik C adalah ( 6, 135 ° ), tentukan koordinat Cartesius titik C itu

C ( 6, 135 ° )

X = r cos α Y = r sin α

= 6 cos 135 ° = 6 sin 135 °

= 6 (-sin 45 °) = 6 cos 45 °

= 6 (-1/2 √2 ) = 6 ( ½√ 2)

= -3√2 = 3√2

jadi koordinat kartesius titik C adalah (-3√2 ,3√2 )

2. Tentukan koordinat Kutub jika diketahui koordinat Cartesiusnya adalah P ( -2√3 , -2 )

r2 = (-2√3 )2 + (-2)2

= 16

r = 4

Tan α = -2/-2 √3

= 1/3√3

= 210° karena ada di kuadran III

jadi koordinat kutub titik P adalah ( 4, 210°)

IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)

Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α

= Sin α . Cos α .

= Sin² α

= 1 – Cos² α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β .

+ Cos β

Sec β = Ruas Kanan Terbukti

Persamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri Sederhana

Text Box: • Jika Sin x = Sin α
X1 = α + k . 360o
X2 = (180o – α) + k . 360o
• Jika Cos x = Cos α
X1 = α + k . 360o
X2 = - α + k . 360o
• Jika Tan x = Tan α
X = α + k . 180o
K Є bilangan bulat

Contoh 2

Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =

, 0^o ≤ x ≤ 360^o

Jawab:

Sin x =

Sin x = Sin 30^o

x = 30^o + k . 360^o

untuk k= 1 ↔ x = 30^o

untuk k = 2 ↔ x = (180^o – 30^o) + k . 360^o

= 150^o

HP:{30^o, 150^o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c

Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

Text Box: k Cos x (x - α) = c
dengan k =
α = arc tan
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1

Sehingga diperoleh k =

Tan α =

= - 1 ↔ α dikuadran IV

α = 315^o

jadi Cos y – Sin y = 1

↔

Cos (x – 315^o) = 1

↔ Cos (x – 315^o) =

↔ Cos (x – 315^o) = Cos 45^o

↔ (x – 315^o) = 45o + k . 360^o

↔ x = 360^o + k . 360^o

↔ x = 360^o

Atau (x – 315^o) = - 45^o + 360^o

x = 270^o+ k . 360^o

x = 270^o

HP:{270^o, 360^o}

Selasa, 22 November 2011

Fungsi eksponensial

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada diatas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.
Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal dibawah ini.

Sifat-sifat

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi

$\!\, a^x=e^{x \ln a}$

yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.
Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.$

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

Rumus-rumus diatas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

${1 \over a} = a^{-1}$

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

$\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}$

Turunan dan persamaan diferensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

${d \over dx} e^x = e^x$

Dengan kata lain, fungsi e^x jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial $y' = y$ .

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.
Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x$

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal

Fungsi eksponensial e^x dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

atau sebagai limit berikut ini:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.$

Dalam definisi diatas,

n!

adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga diatas dapat ditulis menjadi:

$e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)$

$= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)$

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi diatas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

FUNGSI LOGARITMA

DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan.

Perhatikan hal berikut.

2³ = 8

3⁴ = 81

4² = 16

Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:

8 = 2³; 81 =3⁴ ; 16 = 4²

8 = 2³ dapat ditulis sebagai ²log 8 = 3

81 = 3⁴dapat ditulis sebagai ³log 81 = 4

16 = 4² dapat ditulis sebagai ⁴log 16 = 2

(²log 8 dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)

Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif b dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.

Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:

^alog b = c

b = a^c

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R

b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0, b є R

c disebut hasil logaritma

B. Fungsi Logaritma

Apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke a^x (ditulis f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma g yang mengawankan bilangan real x ke ªlog x (ditulis g(x) = ªlog x).

Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3^x dengan daerah asal (domain) D_f = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3^x dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 1

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x) = 3^x	¹/₂₇	¹/₉	¹/₃	1	3	9	27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3^x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif. Karena f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers f^-1 yang memetakan setiap anggota {¹/₂₇, ¹/₉, ¹/₃, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.

Tabel 2

f(x)= 3^x	¹/₂₇	¹/₉	¹/₃	1	3	9	27
*g(x)*	-3	-2	-1	0	1	2	3

Jika fungsi invers dari f(x) = 3^x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.

y = f(x) = 3^x

log y = x log^x

log y = x log 3

x = ^{log y}

^{log 3}

x = ³log y

f^-1 (y) = ³log y

f^-1 (x) = ³log x

Jadi, invers dari f(x) = 3^x adalah g(x) = f^-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.

Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = ^alog x, x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Contoh :

1. Diketahui f(x) = ⁵log x . Tentukan f(x) + f (⁵/_x)

1- 2 ⁵log x

Penyelesaian:

f (⁵/_x) = ⁵log ⁵/_x

1- 2 ⁵log ⁵/_x

= ⁵log 5 – ⁵log x

1- 2 (⁵log 5 – ⁵log x)

= 1 - ⁵log x
1 - 2 (1 – ⁵log x)

= 1 – ⁵log x
1 – 2 + 2 ⁵log x

= 1 – ⁵log x
-1 + 2 ⁵log x

f(x) + f(⁵/_x) = ⁵log x₊ 1 – ⁵log x

1- 2 ⁵log x-1 + 2 ⁵log x

= ⁵log x _ 1 + ⁵log x

1- 2 ⁵log x 1 - 2 ⁵log x

= -1 + 2 ⁵log x

- 2 ⁵log x

                              =   _    1- 2 ⁵log x
                                          1- 2 ⁵log x
                              = - 1

Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku f (^x/_y) = f(x) - f(y), maka f(x) + f(⁵/_x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).

Jadi, f(x) + f(⁵/_x) = f(5) = ⁵log 5 = 1 = - 1

1- 2 ⁵log 5 1 – 2

2. Diketahui f(x) = ⁴log (x² - 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan : a. sumbu X b. sumbu Y

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,

f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16)

0 = ⁴log (x² – 8x + 16)

⁴log (x² – 8x + 16) = ⁴log 1

x² – 8x + 16 = 1

x² – 8x + 15 = 0

(x – 5)(x – 3) = 0

x = 5 atau x = 3

Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5, 0) dan (3, 0).

b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya, x = 0. Oleh karena itu,

f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16)

= ⁴log (0² – 8(0) + 16)

= ⁴log 16

= ⁴log 4²

= 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).

C. Grafik Fungsi Logaritma

Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = ^alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.

Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.

Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.

1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ²log x.

Penyelesaian:

Langkah 1 :

Tabel fungsi y = f(x) = ²log x adalah sebagai berikut.

Tabel 3

X	…	8	4	2	1	½	¼	⅛	…
f(x) = ²log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

Langkah 2 :

Grafiknya adalah sebagai berikut.

y = ²log x

3 •

           0             2           4                        8                                      x

                                    Gambar 1

2. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ³log x.

Penyelesaian:
Tabel fungsi y = f(x) = ³log x adalah sebagai berikut.

Tabel 4

X	…	9	3	1	¹/₃	¹/₉	¹/₂₇	…
f(x) = ³log x	…	2	1	0	-1	-2	-3	…

Grafiknya adalah sebagai berikut.
y

y = ³log x

0 1 3 9 x

Gambar 2

Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) = ²log x dan fungsi f(x) = ³log x adalah himpunan bilangan real positif atau D_f = { x | x > 0, x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.

Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x₁ ≤ x₂ maka ^alog x₁ ≤ ^alog x₂. [1]

2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1

Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = ^alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^½log x.

Penyelesaian:

Buat tabel f(x) = ^½log x terlebih dahulu.

Tabel 5

X	…	⅛	¼	½	1	2	4	8	…
f(x) = ^½log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi f(x) = ^½log x seperti pada gambar berikut.

0 2 4 8 x

3 y = ^½log x Gambar 3

Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma f(x) = ^alog x dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x₁ ≤ x₂ maka ^alog x₁ ≥ ^alog x₂. [2]

Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi

a. f(x) = ³log x c. f(x) = ^⅓log x;

b. f(x) = ⁴log x d. f(x) =^¼log x.

c. Pernahkah fungsi f(x) = ^alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x) = ^alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?

3. Grafik Fungsi f(x) = ^alog x dan g(x) = ¹^/^alog x

Jika grafik y = f(x) = ²log x dan grafik fungsi y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

3 y = ²log x

0 1 2 4 8 x

-3

y = ^½log x

Gambar 4

Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa:

a. Grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog x dan g(x) = ¹^/^alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = ¹^/^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ^alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.

b. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x melalui titik (1, 0).

c. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.

d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).

e. Fungsi f(x) = ^alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = ¹^/^alog x merupakan fungsi turun.

f. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]

4. Grafik Fungsi f(x) = a^x dan g(x) = ^alog x

Jika grafik fungsi y = f(x) = 2^x dan y = g(x) = ²log x, serta grafik y = f(x) = (¹/₂)^xdan y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

► Grafik fungsi y = f(x) = 2^x dan y = g(x) = ²log x

Tabel 6

X	…	0	1	2	3	…
f(x) = 2^x	…	1	2	4	8	…

8 y = 2^x

y = x

y = ²log x

0 x

1 2 3 4 8

Gambar 5

► Grafik fungsi y = f(x) = (¹/₂)^xdan y = g(x) = ^½log x

Tabel 7

x	…	0	2	4	8	…
F(x) = (¹/₂)^x	…	1	-1	-2	-3	…

y = (¹/₂)^x

8 y = x

-3 -2 -1 1 2 4 8 x

-1

-2

-3

Gambar 6 y = ^½log x

Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x sebagai berikut.

a. Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x dan grafik fungsi logaritma g(x) = ^alog x simetri terhadap garis y = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = ^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a^x terhadap garis y = x atau sebaliknya.

b. Fungsi eksponen f(x) = a^xmerupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = ^alog x atau sebaliknya.

Soal-soal Latihan:

1. Diketahui fungsi f(x) = ²log (x²). Tentukan rumus fungsi g jika:

a. g(x) = f (x²) b. g(x) = f(2x) – f(x²)

f(x) + f(²/_x)

2. Untuk setiap x є R dan a konstanta, real, apakah pasti berlaku f(x) + f(a/_x) = f(a)? Tunjukkan.

3. Tentukan titik potong kurva fungsi-fungsi logaritma berikut dengan sumbu X dan sumbu Y.

a. f(x) = ³log (x² – 9x + 20) d. f(x) = ⁷log (-16x² + 17x – 5)

b. f(x) = ⁴log (x² – 3x + 2) e. f(x) = ⁶log (8x – 12x²)

c. f(x) = ²log (2x² + 10x + 12) f. f(x) = ⁶log (2x² + x)

4. Gambarlah grafik fungsi berikut.

a. f(x) = ⁵log x d. f(x) = ⁴log (3x – 5)

b. f(x) = ⁴log (-x) e. f(x) = ⁵log (x² – 4)

c. f(x) = ⁵log (-2x)

5. Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat.

a. f(x) = ³log x dan g(x) = ^⅓log x

b. f(x) = ⁴log x dan g(x) = ^¼log x

c. f(x) = ²log 3x dan g(x) = ^½log 3x

d. f(x) = ⁵log 2x dan g(x) = ¹^/⁵log 2x

6. Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat

a. f(x) = 3^x dan g(x) = ³log x

b. f(x) = (⅓)^x dan g(x) = ^⅓log x

c. f(x) = 4^x dan g(x) = ^¼log x

d. f(x) = (¼)^x dan g(x) = ^¼log x

my name is Zuny

Selasa, 29 November 2011

Pola Bilangan dan Barisan Bilangan

Selasa, 22 November 2011

Fungsi eksponensial

Sifat-sifat

Turunan dan persamaan diferensial

Definisi formal

Nilai numerik

tt

Mengenai Saya

Arsip Blog

Daftar Blog Saya

Total Tayangan Halaman