FUNGSI LOGARITMA
DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
A. Pengertian Logaritma
Logaritma
adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen
atau pemangkatan.
Perhatikan
hal berikut.
23
= 8
34
= 81
42
= 16
Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya
dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:
8 = 23 ; 81 =34 ; 16 = 42
8 = 23 dapat ditulis sebagai 2log 8 = 3
81
= 34 dapat ditulis
sebagai 3log 81 = 4
16
= 42 dapat ditulis
sebagai 4log 16 = 2
(2log
8 dibaca “logaritma dari 8 dengan
bilangan pokok 2”)
Hal ini berarti mencari logaritma suatu
bilangan positif b dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.
Secara
umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:
alog b = c 
b = ac
b = ac
a
disebut bilangan pokok (basis)
logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R
b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari
logaritmanya, b > 0, b
є R
c
disebut hasil logaritma
B. Fungsi Logaritma
Apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke ax (ditulis f(x)
= ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma g yang mengawankan bilangan real x ke ªlog x (ditulis g(x) = ªlog x).
Misalkan diketahui fungsi f(x)
= 3x
dengan daerah asal (domain) Df
= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }.
Hubungan antara x dengan f(x)
= 3x dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel 1
X
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
f(x)
= 3x
|
1/27
|
1/9
|
1/3
|
1
|
3
|
9
|
27
|
Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x)
= 3x. Sehingga dapat
dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x)
= 3x merupakan fungsi bijektif. Karena f(x) =
3x merupakan fungsi
bijektif, terdapat fungsi invers f-1 yang memetakan setiap
anggota {1/27, 1/9, 1/3,
1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti
diperlihatkan pada tabel berikut.
Tabel 2
f(x)=
3x
|
1/27
|
1/9
|
1/3
|
1
|
3
|
9
|
27
|
g(x)
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Jika fungsi invers dari f(x) =
3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
y = f(x) = 3x
log y =
x logx log y =
x log 3
x = log y
log 3
x = ³log yf-1 (y)
= ³log yf-1 (x)
= ³log x
Jadi, invers dari f(x)
= 3x adalah g(x)
= f-1(x) = ³log x yang
merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.
Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu
fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = alog x, x
> 0, a > 0, a ≠ 1.
Contoh :
1. Diketahui f(x) =
5log x .
Tentukan f(x) + f (5/x)
1- 2 5log
x
Penyelesaian:
f (5/x) = 5log 5/x
1- 2 5log 5/x
= 5log 5 – 5log x
1- 2 (5log 5 – 5log x)
= 1 - 5log x1 - 2 (1 – 5log x)
= 1 – 5log x1 – 2 + 2 5log x
= 1 – 5log x-1 + 2 5log x
f(x)
+ f(5/x) = 5log x + 1 – 5log x
1-
2 5log x -1 + 2 5log
x
= 5log x _ 1
+ 5log x |
|
1-
2 5log x 1
- 2 5log x
= -1
+ 2 5log x
1
- 2 5log x
- 2 5log x = _
1- 2 5log x1- 2 5log x
= - 1
Dengan cara
ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma
berlaku f (x/y)
= f(x) - f(y),
maka f(x) + f(5/x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).
Jadi, f(x) +
f(5/x) = f(5)
= 5log 5 =
1 = - 1
1- 2
5log 5 1 – 2
2. Diketahui
f(x)
= 4log (x2 - 8x + 16).
Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan :
a. sumbu X b. sumbu Y
Penyelesaian:
a.
Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16)
0 = 4log (x2 – 8x + 16) 4log (x2 – 8x + 16) = 4log 1 x2 – 8x + 16 = 1 x2 – 8x + 15 = 0 (x
– 5)(x – 3) = 0 x = 5
atau x = 3
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah
(5, 0) dan (3, 0).
b. Titik potong dengan sumbu Y
syaratnya, x = 0. Oleh karena
itu,
f(x)
= 4log (x2 – 8x + 16)
=
4log (02 – 8(0) + 16)
=
4log 16
= 4log
42
= 2
Jadi,
titik potongnya dengan sumbu Y adalah
(0, 2).
C. Grafik
Fungsi Logaritma
Untuk menggambar grafik fungsi logaritma,
dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
Langkah
1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x
dengan y = f(x) = alog x, yaitu dengan memilih
beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
Langkah
2 : Gambarlah titik-titik (x, y)
yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan
titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi
logaritma.
Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita
dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.
1. Grafik
Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
Contoh :
1. Gambarlah
grafik fungsi y = f(x)
= 2log x.
Penyelesaian:
Langkah 1 :
Tabel fungsi y =
f(x)
= 2log x adalah sebagai
berikut.
Tabel 3
X
|
…
|
8
|
4
|
2
|
1
|
½
|
¼
|
⅛
|
…
|
f(x) = 2log x
|
…
|
3
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
-3
|
…
|
Langkah
2 :
Grafiknya
adalah sebagai berikut.
y
y = 2log x
3 •
0 2 4
8 xGambar 1
2. Gambarlah
grafik fungsi y = f(x) = 3log x.
Penyelesaian:Tabel fungsi y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut.
Tabel 4
X
|
…
|
9
|
3
|
1
|
1/3
|
1/9
|
1/27
|
…
|
f(x) = 3log x
|
…
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
-3
|
…
|
Grafiknya adalah sebagai berikut.y
y =
3log x
1
0 1
3 9 xGambar 2
Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) = 2log x dan fungsi f(x)
= 3log x adalah himpunan bilangan real positif atau Df = { x
| x > 0, x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.
Dengan
memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = alog
x, dengan a > 1, merupakan fungsi
naik karena untuk x1
≤ x2
maka alog
x1 ≤ alog
x2. [1]
2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 <
a < 1
Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan
nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah
kurva mulus.
Contoh :
Gambarlah
grafik fungsi logaritma y = f(x) = ½log
x.
Penyelesaian:
Buat
tabel f(x) = ½log x
terlebih dahulu.
Tabel 5
X
|
…
|
⅛
|
¼
|
½
|
1
|
2
|
4
|
8
|
…
|
f(x) = ½log
x
|
…
|
3
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
-3
|
…
|
Dengan melukis pasangan koordinat
titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkannya dengan sebuah
kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi f(x)
= ½log x
seperti pada gambar berikut.
y 
0 2 4 8 x
3 y = ½log x Gambar 3
Dengan
memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma f(x) = alog
x
dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x1 ≤ x2
maka alog
x1 ≥ alog
x2. [2]
Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi
a.
f(x) = 3log x c. f(x) = ⅓log
x;
b.
f(x) = 4log x d. f(x) =¼log x.
c.
Pernahkah fungsi f(x) = alog
x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x)
= alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?
3.
Grafik
Fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x
Jika grafik y = f(x)
= 2log x dan grafik fungsi
y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang
koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
y |
3
y = 2log x |
0 1
2 4 8
x
-3
y = ½log x
Gambar 4
Dari gambar 4,
dapat dikatakan bahwa:
a.
Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog
x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x)
= 1/alog
x dapat diperoleh dengan mencerminkan
grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau
sebaliknya.
b.
Grafik fungsi f(x)
= alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog
x melalui titik (1, 0).
c.
Grafik fungsi f(x) = alog
x dan grafik fungsi g(x)
= 1/alog x
selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.
d.
Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real
positif atau D =
(0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞,
∞).
e.
Fungsi f(x)
= alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x)
= 1/alog x
merupakan fungsi turun.
f.
Grafik fungsi f(x) = alog
x dan grafik fungsi g(x)
= 1/alog x
tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi
terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak
bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]
4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog
x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x dan y =
g(x) = 2log x, serta grafik y = f(x) = (1/2)x dan y = g(x) = ½log x
digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai
berikut.
►
Grafik fungsi y = f(x) = 2x dan y = g(x) = 2log x
Tabel 6
X
|
…
|
0
|
1
|
2
|
3
|
…
|
f(x) = 2x
|
…
|
1
|
2
|
4
|
8
|
…
|
y
8 y = 2x
y = x
4
y = 2log
x  |
2
0
x
1 2
3 4 8
Gambar
5
► Grafik fungsi y =
f(x) = (1/2)x dan y = g(x) = ½log
x
Tabel 7
x
|
…
|
0
|
2
|
4
|
8
|
…
|
F(x) = (1/2)x
|
…
|
1
|
-1
|
-2
|
-3
|
…
|
y
y = (1/2)x 
8 y = x
4 
2
1
-3
-2 -1
1 2
4 8 x  |
-1
-2
-3
Gambar 6 y = ½log x
Dengan
memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang
grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan
grafik fungsi logaritma g(x) = alog x
sebagai berikut.
a.
Grafik fungsi eksponen
f(x)
= ax dan grafik fungsi
logaritma g(x) = alog x simetri terhadap garis y = x.
hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog
x dapat diperoleh dengan mencerminkan
grafik f(x) = ax
terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b.
Fungsi eksponen f(x)
= ax merupakan fungsi
invers dari fungsi logaritma g(x) = alog
x atau sebaliknya.
Soal-soal Latihan:
1. Diketahui fungsi f(x)
= 2log (x2).
Tentukan rumus fungsi g jika:
a. g(x)
= f (x2) b. g(x) = f(2x) – f(x2)
f(x) + f(2/x)
2. Untuk setiap x є R dan a konstanta, real, apakah pasti berlaku f(x)
+ f(a/x) = f(a)? Tunjukkan.
3. Tentukan titik potong kurva fungsi-fungsi
logaritma berikut dengan sumbu X dan
sumbu Y.
a. f(x) = 3log (x2 – 9x + 20) d.
f(x) = 7log (-16x2 + 17x – 5)
b. f(x) = 4log (x2 – 3x + 2) e. f(x) = 6log (8x – 12x2)
c. f(x)
= 2log
(2x2 + 10x + 12) f. f(x) = 6log (2x2 + x)
4. Gambarlah grafik
fungsi berikut.
a. f(x)
= 5log x d. f(x) = 4log (3x – 5)
b. f(x)
= 4log (-x) e. f(x) = 5log (x2 – 4)
c. f(x)
= 5log (-2x)
5. Gambarlah
pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat.
a. f(x)
= 3log x dan g(x)
= ⅓log x
b. f(x) = 4log x dan
g(x) = ¼log x
c. f(x) = 2log 3x dan
g(x) = ½log 3x
d. f(x) = 5log 2x dan
g(x) = 1/5log 2x
6. Gambarlah pasangan
fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat
a. f(x)
= 3x dan g(x)
= 3log x
b.
f(x) = (⅓)x dan g(x)
= ⅓log x
c. f(x) = 4x dan g(x)
= ¼log
x
d. f(x) = (¼)x dan g(x)
= ¼log x
Tidak ada komentar:
Posting Komentar