Selasa, 22 November 2011

FUNGSI LOGARITMA
DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA


A. Pengertian Logaritma
      Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan.
Perhatikan hal berikut.
23 = 8
34 = 81
42 = 16
      Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:
  8 = 23 ;  81 =34  ; 16 = 42
  8 = 23  dapat ditulis sebagai  2log 8 = 3
81 = 3dapat ditulis sebagai  3log 81 = 4
16 = 42  dapat ditulis sebagai  4log 16 = 2
(2log 8  dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)
      Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif  b  dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.
Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:
                           alog b = c     b = ac
               a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R
               b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0,      b є R
               c disebut hasil logaritma



B. Fungsi Logaritma
Apabila terdapat fungsi eksponen  f  yang memetakan bilangan real  x  ke  ax  (ditulis f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma  g  yang mengawankan bilangan real  x  ke  ªlog x (ditulis  g(x) ªlog x).
Misalkan diketahui fungsi  f(x) = 3x  dengan daerah asal (domain) Df  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3x  dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel 1
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara  x  dan f(x) = 3x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x  merupakan fungsi bijektif. Karena  f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers  f-1 yang memetakan setiap anggota {1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.
Tabel 2
f(x)= 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
g(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3

Jika fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
y = f(x) = 3x
log y x logx
log yx log 3
x log y
             log 3
x = ³log y
f-1 (y) = ³log y
f-1 (x) = ³log x
Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.
Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap  x  bilangan real dengan aturan g(x) = alog x,  x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Contoh :
1.   Diketahui f(x) =     5log x        . Tentukan f(x) + f (5/x)
                                 1- 2 5log x
Penyelesaian:
f (5/x)   =      5log  5/x
               1- 2  5log  5/x
              
            =      5log 5 – 5log x
               1- 2 (5log 5 – 5log x)
                  =        1 -  5log x
                        1 - 2 (1 – 5log x)
                  =        1 – 5log x
                        1 – 2  +  2 5log x
                  =       1 – 5log x
                        -1  +  2 5log x
      f(x)  +  f(5/x)    =       5log  x           +      1 – 5log x
                              1- 2  5log  x         -1  +  2 5log x
                       
                        =        5log  x        _      1 + 5log x






 
                              1- 2  5log  x          1  -  2 5log x

                        =   -1  +  2 5log  x
1        -  2 5log x
                              =   _    1- 2  5log  x
                                          1- 2  5log  x
                              =  - 1
Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku  f (x/y) = f(x)  -  f(y),  maka  f(x) +  f(5/x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).
Jadi,  f(x) +  f(5/x)  =  f(5)  =      5log 5       =     1      =     - 1
                                              1- 2  5log 5        1 – 2
2.   Diketahui f(x) =  4log (x2 -  8x  +  16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan :  a. sumbu X                           b. sumbu Y
      Penyelesaian:
a.       Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,
       f(x) = 4log (x2 – 8x  +  16)
 0 = 4log (x2 – 8x  +  16)
 4log (x2 – 8x  +  16) = 4log 1
 x2 – 8x  +  16 = 1
 x2 – 8x  +  15 = 0
 (x – 5)(x – 3) = 0
 x = 5  atau  x = 3
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah  (5, 0) dan (3, 0).
b.      Titik potong dengan sumbu Y  syaratnya, x = 0. Oleh karena itu,
f(x) =  4log (x2 – 8x  +  16)
       =  4log (02 – 8(0) + 16)
       =  4log 16
       =  4log 42
          =  2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).

C. Grafik Fungsi Logaritma
      Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
      Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x,  yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
      Langkah 2 :   Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.
            Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.
      1.   Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
  Contoh :
      1.   Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 2log x.
  Penyelesaian:
      Langkah 1 :
      Tabel fungsi  y = f(x) = 2log x adalah sebagai berikut.

Tabel 3
X
8
4
2
1
½
¼
f(x) = 2log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
      Langkah 2 :
      Grafiknya adalah sebagai berikut.
              y
                                                                     y = 2log x
            3                                                   
   
           0             2           4                        8                                      x
                         
                                    Gambar 1

2.      Gambarlah grafik fungsi  y = f(x) = 3log x.
  Penyelesaian:
      Tabel fungsi  y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut.
Tabel  4
X
9
3
1
1/3
1/9
1/27
f(x) = 3log x
2
1
0
-1
-2
-3


      Grafiknya adalah sebagai berikut.
           y
                                                                                                           y = 3log x
             1
            0      1          3                                           9                                  x
                             Gambar  2

            Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) =  2log x dan fungsi  f(x) = 3log x  adalah himpunan bilangan real positif atau Df  = { x | x > 0,   x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.
            Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma           y = f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1 ≤  x2 maka  alog x1 ≤  alog x2. [1]
2.      Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.
      Contoh :
      Gambarlah grafik fungsi logaritma  y = f(x) = ½log x.
     
      Penyelesaian:
      Buat tabel  f(x) = ½log x  terlebih dahulu.
Tabel 5
X
¼
½
1
2
4
8
f(x) = ½log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
      Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi    f(x) = ½log x  seperti pada gambar berikut.
     y    

           0             2             4                               8                             x
            
             3                                              y = ½log x                                                                 Gambar 3
            Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma       f(x) = alog x  dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x1x2  maka            alog x1 ≥  alog x2. [2]
            Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi
a.       f(x) = 3log x                     c.  f(x) = log x;              
b.      f(x) = 4log x                     d.  f(x) =¼log x.
c.       Pernahkah fungsi f(x) = alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x) = alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?
3.      Grafik Fungsi  f(x) = alog x dan  g(x) = 1/alog x
Jika grafik y = f(x) = 2log x dan grafik fungsi y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
          y



 
                3                                                                                                y = 2log x



 
               0       1        2                4                              8                                    x        
                                                                                                                                                                                                  

              -3
                                                                                                              y = ½log x

                                    Gambar 4



            Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa:
a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.
b.      Grafik fungsi  f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1, 0).
c.       Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.
d.      Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau              D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).
e.       Fungsi  f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun.
f.        Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]

4.      Grafik Fungsi f(x) = ax  dan g(x) = alog x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x, serta grafik                     y = f(x) = (1/2)x  dan y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 
► Grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x
                                       Tabel 6
X
0
1
2
3
f(x) = 2x
1
2
4
8

              y

            
               8                       y = 2x                   
                                                                 y = x


               4                                         
                                                                                         y = 2log x


 
                2
              
                
               0                                                                                              x
                       1    2    3    4                      8


                                       Gambar 5
► Grafik fungsi  y = f(x) = (1/2)x  dan y = g(x) = ½log x
                                                Tabel 7

x
0
2
4
8
F(x) = (1/2)x
1
-1
-2
-3
                          y
     y = (1/2)x   
                                

                                                                            
                           8                                                      y = x




                           4


                           2
                           1
        -3     -2   -1        1     2           4                     8                            x           


 
                          -1
                          -2
                          -3

                                         Gambar 6                                        y = ½log x

            Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax  dan grafik fungsi logaritma  g(x) = alog x sebagai berikut.
a.       Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetri terhadap garis y = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b.      Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma    g(x) = alog x atau sebaliknya.

Soal-soal Latihan:
1.   Diketahui fungsi f(x) = 2log (x2). Tentukan rumus fungsi g jika:
      a. g(x) = f (x2)                               b. g(x) =  f(2x) – f(x2)
                                                         f(x) +  f(2/x)
2.   Untuk setiap x є R dan a konstanta, real, apakah pasti berlaku f(x) + f(a/x) = f(a)? Tunjukkan.
3.   Tentukan titik potong kurva fungsi-fungsi logaritma berikut dengan sumbu X dan sumbu Y.
      a. f(x) = 3log (x2 – 9x + 20)                        d.  f(x) = 7log (-16x2 + 17x – 5)
      b. f(x) = 4log (x2 – 3x  + 2)                        e.  f(x) = 6log (8x – 12x2)
      c. f(x) =  2log (2x2 + 10x + 12)                  f.   f(x) = 6log (2x2 + x)
4.   Gambarlah grafik fungsi berikut.
      a. f(x) = 5log x                                            d.  f(x) = 4log (3x – 5)
      b. f(x) = 4log  (-x)                                      e.  f(x) = 5log (x2 – 4)
      c. f(x) = 5log (-2x)
5.   Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat.
      a. f(x) = 3log x dan g(x) = log x
      b. f(x) = 4log x dan g(x) = ¼log x
      c. f(x) = 2log 3x dan g(x) = ½log 3x
      d. f(x) = 5log 2x dan g(x) = 1/5log 2x
6.   Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat
      a. f(x) = 3x dan g(x) = 3log x
      b. f(x) = ()x dan g(x) = log x
      c. f(x) = 4x dan g(x) =  ¼log x
      d. f(x) = (¼)x dan g(x) =  ¼log x

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar