SUMBER : http://purwy.wordpress.com/2009/01/17/relasi-dan-fungsi/
RELASI DAN FUNGSI
PENGERTIAN RELASIDalam kehidupan sehari-hari, banyak kita temukan hubungan misalnya hubungan pertemanan, hubungan pekerjaan, dan hubungan keluarga.
Kata “hubungan” dapat digunakan untuk menghubungkan dua kelompok(himpunan) dan hubungan tersebut memiliki sebuah “nama”.misalkan ada dua kelompok, yaitu kelompok namaorang dan nama pekerjaan, lalu kedua kelompok tersebut kita hubungkan dengan nama hubungan “bekerja sebagai”,
Kelompok nama orang Kelompok pekerjaan
Yuni Guru
Nanda Dokter
Ita Perawat
Helen Pedagang
Nanda Dokter
Ita Perawat
Helen Pedagang
Berdasar gambar di atas, dapat menyatakan hubungan berikut ini.
Yuni bekerja sebagai dokter dan pedagang
Nanda bekerja sebagai perawat
Ita bekerja sebagai guru
Helen bekerja sebagai pedagang
Yuni bekerja sebagai dokter dan pedagang
Nanda bekerja sebagai perawat
Ita bekerja sebagai guru
Helen bekerja sebagai pedagang
Jadi, suatu relasi dari kelompok A ke kelompok B adalah memesangkan
anggota-anggota kelompok A dengan anggota kelompok B. relasi dari A ke B
ditulis dengan .
MENYATAKAN BENTUK FUNGSI
A. Definisi Fungsi
Unsur di himpunan A dapat dipasangkan dengan tepat satu unsure di himpunan B. pernyataan ini disebut sebuah fungsi. Jika pernyataan itu dinyatakan dengan f maka fungsi dan dibaca “f adalah fungsi dari A ke B”.
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan dari A ke B dimana untuk setiap dipasangkan dengan tepat satu . Jika , serta dipasangkan dengan , maka dinamakan bayangan atau peta dari ,atau dapat juga dikatakan dipetakan ke dan dituliskan sebagai . Himpunan yang merupakan peta dari disebut range atau daerah hasil fungsi. Himpunan disebut domain dan semua anggota himpunan B disebut kodomain.
B. Notasi suatu Fungsi
o Misalkan fungsi A ke B kita sebut f maka notasi yang digunakan untuk menyatakan fungsi itu adalah:
A. Definisi Fungsi
Unsur di himpunan A dapat dipasangkan dengan tepat satu unsure di himpunan B. pernyataan ini disebut sebuah fungsi. Jika pernyataan itu dinyatakan dengan f maka fungsi dan dibaca “f adalah fungsi dari A ke B”.
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan dari A ke B dimana untuk setiap dipasangkan dengan tepat satu . Jika , serta dipasangkan dengan , maka dinamakan bayangan atau peta dari ,atau dapat juga dikatakan dipetakan ke dan dituliskan sebagai . Himpunan yang merupakan peta dari disebut range atau daerah hasil fungsi. Himpunan disebut domain dan semua anggota himpunan B disebut kodomain.
B. Notasi suatu Fungsi
o Misalkan fungsi A ke B kita sebut f maka notasi yang digunakan untuk menyatakan fungsi itu adalah:
o Jika , ,dan adalah peta (bayangan) dari maka notasi fungsi di atas ditulis sebagai berikut:
Penulisan di atas dibaca: “fungsi f memetakan ke “.
Bila notasi fungsi diatas kita tulis dalam bentuk rumus fungsi (formula fungsi) maka diperoleh:
Bila notasi fungsi diatas kita tulis dalam bentuk rumus fungsi (formula fungsi) maka diperoleh:
C. Menyatakan suatu Fungsi
1. Diagram panah
Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan diagaram panah, jika memenuhi persyaratan berikut.
a. Ada domain (daerah asal) dan kodomain (daerah kawan)
b. Ada anak panah dan nama fungsi
c. Semua anggota domain habis dipetakan ke kodomain
d. Peta dari setiap anggota domain tidak boleh bercabang.
1. Diagram panah
Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan diagaram panah, jika memenuhi persyaratan berikut.
a. Ada domain (daerah asal) dan kodomain (daerah kawan)
b. Ada anak panah dan nama fungsi
c. Semua anggota domain habis dipetakan ke kodomain
d. Peta dari setiap anggota domain tidak boleh bercabang.
2. Himpunan pasangan berurutan
Suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan dengan dan asalkan memenuhi persyaratan berikut.
a. Setiap (domain) harus habis dipetakan
b. Setiap harus mempunyai satu peta (bayangan) (kodomain).
3. Koornidat cartecius
Koordinat Cartisius untuk fungsi dikenal sebagai grafik fungsi. Grafik fungsi yang dimaksud memenuhi syarat suatu fungsi.
Sebuah grafik disebut grafik fungsi, jika memenuhi persyaratan berikut ini.
a. Semua anggota A harus terpetakan.
b. Semua anggota A harus hanya memenuhi satu peta di B.
D. Produk Carticius dan Diagram Koordinat
Produk cartecius merupakan pokok bahasan lanjutan dari pasangan berurutan. Produk cartecius dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan dengan dan . Produk cartecius dari himpunan A ke B dinotasikan dengan (dibaca: “A kali B”). jika pengertian di atas ditulis dalam notasi pembentuk himpunan maka diperoleh:
{ | dan }
Diagram cartecius yang menggambarkan produk cartecius disebut diagram koordinat.
E. Menentukan Banyaknya Pemetaan (Fungsi)
Semua pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B lebih mudah ditunjukkan dengan diagram panah. Banyaknya anggota himpunan dan banyaknya anggota himpunan . dengan demikian, kita dapat membentuk pemetaan-pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B ataupun sebaliknya.
Suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan dengan dan asalkan memenuhi persyaratan berikut.
a. Setiap (domain) harus habis dipetakan
b. Setiap harus mempunyai satu peta (bayangan) (kodomain).
3. Koornidat cartecius
Koordinat Cartisius untuk fungsi dikenal sebagai grafik fungsi. Grafik fungsi yang dimaksud memenuhi syarat suatu fungsi.
Sebuah grafik disebut grafik fungsi, jika memenuhi persyaratan berikut ini.
a. Semua anggota A harus terpetakan.
b. Semua anggota A harus hanya memenuhi satu peta di B.
D. Produk Carticius dan Diagram Koordinat
Produk cartecius merupakan pokok bahasan lanjutan dari pasangan berurutan. Produk cartecius dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan dengan dan . Produk cartecius dari himpunan A ke B dinotasikan dengan (dibaca: “A kali B”). jika pengertian di atas ditulis dalam notasi pembentuk himpunan maka diperoleh:
{ | dan }
Diagram cartecius yang menggambarkan produk cartecius disebut diagram koordinat.
E. Menentukan Banyaknya Pemetaan (Fungsi)
Semua pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B lebih mudah ditunjukkan dengan diagram panah. Banyaknya anggota himpunan dan banyaknya anggota himpunan . dengan demikian, kita dapat membentuk pemetaan-pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B ataupun sebaliknya.
Banyak pemetaan dari A ke B Banyak pemetaan dari B ke A
1 1 1=1 1=11
2 2 1=12 2=21
3 3 8=23 9=32
1 1 1=1 1=11
2 2 1=12 2=21
3 3 8=23 9=32
Dari table di atas dapat disimpulkan:
Jika banyaknya anggota dan banyaknya anggota maka banyaknya pemetaan yang mungkin:
a. Dari A ke B adalah atau
b. Dari B ke A adalah atau
F. Perkawanan (Korespondensi) Satu-satu
1. Pengertian Dasar
Setiap Negara di dunia ini hanya mempunyai satu ibu kota. Hal ini menunjukkan himpunan Negara dan himpunan ibu kota menerapkan perkawanan satu-satu. Dua himpunan A dan B dikatakan dalam keadaan (korespondensi) satu-satu apabila anggota-anggota himpunan A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan satu anggota B, dan setiap anggota B berpasangan dengan satu anggota A. dari ketentuan di atas, terlihat bahwa banyaknya anggota kedua himpunan itu sama dan berhingga.
Perkawanan (korespondensi) satu-satumemerlukan dua ketentuan berikut ini.
i. Himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama [n(A)=n(B)]
ii. Terdapat suatu pemetaan dimana setiap anggota A berpasangan dengan satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan satu anggota A.
2. Menentukan Banyaknya Korespondensi Satu-satu
Untuk menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang ekuivalen dengan banyak anggota tertentu.
Banyaknya
Anggota A (n(A)) Banyaknya
Anggota B (n(B)) Banyaknya korespondensi
Satu-satu dari A ke B
1 1 1 = 1
2 2 2 = 2 x 1
3 3 6 = 3 x 2 x 1
4 4 24 = 4 x 3 x 2 x 1
. . .
. . .
N N N! = N x (N-1) x…x 2 x 1
Lambing “!” dibaca “faktorial” dan notasi “N!” dibaca “N faktorial”. Dan dapat disimpulkan bahwa:
Jika n(A) = n(B) = N maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B ditentukan oleh:
n( ) = N! = N x (N-1) x…x 3 x 2 x 1
Jika banyaknya anggota dan banyaknya anggota maka banyaknya pemetaan yang mungkin:
a. Dari A ke B adalah atau
b. Dari B ke A adalah atau
F. Perkawanan (Korespondensi) Satu-satu
1. Pengertian Dasar
Setiap Negara di dunia ini hanya mempunyai satu ibu kota. Hal ini menunjukkan himpunan Negara dan himpunan ibu kota menerapkan perkawanan satu-satu. Dua himpunan A dan B dikatakan dalam keadaan (korespondensi) satu-satu apabila anggota-anggota himpunan A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan satu anggota B, dan setiap anggota B berpasangan dengan satu anggota A. dari ketentuan di atas, terlihat bahwa banyaknya anggota kedua himpunan itu sama dan berhingga.
Perkawanan (korespondensi) satu-satumemerlukan dua ketentuan berikut ini.
i. Himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama [n(A)=n(B)]
ii. Terdapat suatu pemetaan dimana setiap anggota A berpasangan dengan satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan satu anggota A.
2. Menentukan Banyaknya Korespondensi Satu-satu
Untuk menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang ekuivalen dengan banyak anggota tertentu.
Banyaknya
Anggota A (n(A)) Banyaknya
Anggota B (n(B)) Banyaknya korespondensi
Satu-satu dari A ke B
1 1 1 = 1
2 2 2 = 2 x 1
3 3 6 = 3 x 2 x 1
4 4 24 = 4 x 3 x 2 x 1
. . .
. . .
N N N! = N x (N-1) x…x 2 x 1
Lambing “!” dibaca “faktorial” dan notasi “N!” dibaca “N faktorial”. Dan dapat disimpulkan bahwa:
Jika n(A) = n(B) = N maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B ditentukan oleh:
n( ) = N! = N x (N-1) x…x 3 x 2 x 1
MENGHITUNG NILAI FUNGSI
A. Menghitung Nilai Suatu Fungsi
Menghitung nilai suatu fungsi berarti kita mensubstitusi nilai variable bebas ke dalam rumus fungsi sehingga diperoleh nilai variable bergantungnya.
B. Menyusun Tabel Fungsi
Pada bagian sebelumnya kita telah membahas cara mencari nilai fungsi, daerah hasil (range), dan melukis grafik fungsi. Sekarang kita akan membahas mengenai table fungsi, sebagai alat Bantu untuk memudahkan proses penggambaran grafik fungsi.
C. Grafik Fungsi
Grafik fungsi yang dimaksud disini adalah grafik dalam koordinat cartecius. Koordinat Cartecius terdiri dari unsur x (absis) dan y (ordinat). Keterhubungan yang teratur dari semua pasangan berurutan pada fungsi dikenal sebagai grafik fungsi.
a. Fungsi Linear
Fungsi linear mempunyai bentuk umum ax+by+c = 0. grafik fungsi linear berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linear berupa garis lurus, kita akan membuat table dengan mengambil beberapa unsure domain dan mencari rangenya berdasarkan rumus fungsi linear yang diketahui/diberikan.
b. Fungsi Konstan
Fungsi konstan mempunyai bentuk uumum f(x) = c, dengan c adalah suatu konstanata. Fungsi merupakan fungsi linear yang grafiknya sejajar dengan sumbu X
c. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum y = ax2+bx+c. grafik fungsi kuadrat disebut parabola. Jika a > 0 maka kurva terbuka ke atas, dan jika a < 0 maka kurva terbuka ke bawah
D. Menentukan Bentuk Fungsi
Penentuan bentuk fungsidapat dilaksanakan, jika nilai dan data fungsi telah diketahui dengan jelas.
1. Funsi Linear(f(x) = ax+ b)
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat (persamaan parabola) dapat disusun apabila diketahui data-data yang cukup dari parabola tersebut.
Apabila tiga titik yang dilalui sebuah parabola diketahui, maka persamaan parabola dapat dimisalkan sebagai y = ax2+bx+c. kemudian ketiga titik yang diketshui disubtitusi ke dalam persamaan tersebut, sehingga diperoleh tiga tiga persamaan dengan tiga variable(yaitu a, b, dan c). Variabel a, b, dan c ditentukan dengan cara eliminasi dan substitusi.
E. Pemakaian Fungsi Kuadrat (Pengayaan)
Pemakaian fungsi kuadrat di dalam kehidupan sehari-hari meliputi: pengertian luas terbesar, luas terkecil, nilai terbesar, nilai terkecil, tinggi maksimum, tinggi minimum, dan sebagainya.
A. Menghitung Nilai Suatu Fungsi
Menghitung nilai suatu fungsi berarti kita mensubstitusi nilai variable bebas ke dalam rumus fungsi sehingga diperoleh nilai variable bergantungnya.
B. Menyusun Tabel Fungsi
Pada bagian sebelumnya kita telah membahas cara mencari nilai fungsi, daerah hasil (range), dan melukis grafik fungsi. Sekarang kita akan membahas mengenai table fungsi, sebagai alat Bantu untuk memudahkan proses penggambaran grafik fungsi.
C. Grafik Fungsi
Grafik fungsi yang dimaksud disini adalah grafik dalam koordinat cartecius. Koordinat Cartecius terdiri dari unsur x (absis) dan y (ordinat). Keterhubungan yang teratur dari semua pasangan berurutan pada fungsi dikenal sebagai grafik fungsi.
a. Fungsi Linear
Fungsi linear mempunyai bentuk umum ax+by+c = 0. grafik fungsi linear berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linear berupa garis lurus, kita akan membuat table dengan mengambil beberapa unsure domain dan mencari rangenya berdasarkan rumus fungsi linear yang diketahui/diberikan.
b. Fungsi Konstan
Fungsi konstan mempunyai bentuk uumum f(x) = c, dengan c adalah suatu konstanata. Fungsi merupakan fungsi linear yang grafiknya sejajar dengan sumbu X
c. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum y = ax2+bx+c. grafik fungsi kuadrat disebut parabola. Jika a > 0 maka kurva terbuka ke atas, dan jika a < 0 maka kurva terbuka ke bawah
D. Menentukan Bentuk Fungsi
Penentuan bentuk fungsidapat dilaksanakan, jika nilai dan data fungsi telah diketahui dengan jelas.
1. Funsi Linear(f(x) = ax+ b)
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat (persamaan parabola) dapat disusun apabila diketahui data-data yang cukup dari parabola tersebut.
Apabila tiga titik yang dilalui sebuah parabola diketahui, maka persamaan parabola dapat dimisalkan sebagai y = ax2+bx+c. kemudian ketiga titik yang diketshui disubtitusi ke dalam persamaan tersebut, sehingga diperoleh tiga tiga persamaan dengan tiga variable(yaitu a, b, dan c). Variabel a, b, dan c ditentukan dengan cara eliminasi dan substitusi.
E. Pemakaian Fungsi Kuadrat (Pengayaan)
Pemakaian fungsi kuadrat di dalam kehidupan sehari-hari meliputi: pengertian luas terbesar, luas terkecil, nilai terbesar, nilai terkecil, tinggi maksimum, tinggi minimum, dan sebagainya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar